Operadores de superposición entre espacios de tipo Dirichlet

Dragan Vukotić Jovšić Universidad Autónoma de Madrid

                           dragan.vukotic@uam.es

El espacio de tipo Dirichlet con peso D_{α}^{p} se define como el conjunto de todas las funciones analíticas en el disco unidad 𝔻 con la seminorma ∥f∥_{p,α} finita, donde

∥f∥_{p,α}^{p} = ∫_{𝔻} |f′(z)|^{p}(1 − |z|^{2})^{α}dA(z) , 1 < p < ∞ , α > −1 .

Un lugar destacado ocupan los espacios analíticos (diagonales) de Besov B^{p} = D_{p−2}^{p}, que poseen la propiedad de invarianza conforme.

En este trabajo recien publicado, realizado conjuntamente con Stephen M. Buckley (National University of Ireland, Maynooth) y José Luis Fernández (Universidad Autónoma de Madrid), caracterizamos aquellas funciones enteras φ para las cuales el operador de superposición (precomposición) inducido, S_{φ} : f ↦ φ ∘ f, tiene la propiedad S_{φ}(B^{p}) ⊂ B^{q}, para 1 ≤ p, q ≤ ∞. Como B^{∞} podemos tomar cualquiera de los espacios límite naturales: V MOA, BMOA, B_{0} y B, mientras que el espacio B^{1} requiere una definición especial.

También caracterizamos las superposiciones de un espacio de tipo Dirichlet sin peso D^{p} en otro D^{q}, para todos los valores de p y q posibles y, finalmente, de B^{p} en el espacio D_{α}^{q} con peso. Por lo general, las funciones admisibles φ son o bien polinomios cuyo grado depende de p y q, o bien funciones enteras cuyo orden y tipo vienen determinados por esos exponentes.

El problema de caracterizar las funciones enteras que inducen operadores de superposición entre dos espacios de funciones fue estudiado en otros contextos. En particular, para los espacios de Bergman fue resuelto por Cámera y Giménez (The nonlinear superposition operator acting on Bergman spaces, Compositio Math. 93 (1994), 23–35, MR: 95f:47093).

En el contexto de los espacios de tipo Dirichlet, hay muchas dificultades que no se dan en los espacios de Bergman, debido a las complicaciones relacionadas con el control de la derivada. Entre las técnicas principales, usamos las propiedades de la métrica hiperbólica, un método de construcción de funciones univalentes en B^{p} y ciertas desigualdades para las funciones analíticas de tipo Trudinger-Moser, de las cuales algunas se demuestran por vez primera en este contexto.