Operadores de Composición en el espacio de Dirichlet

Eva Gallardo Gutiérrez Universidad de Cádiz

                            eva.gallardo@uca.es

Sea 𝔻 el disco unidad del plano complejo y denotemos por A(z) la medida de Lebesgue normalizada en 𝔻. El espacio de Dirichlet D es el espacio de las funciones f analíticas en 𝔻 tales que la norma

∥f∥_{D}^{2} = |f(0)|^{2} + ∫_{𝔻} |f′(z)|^{2} dA(z)

es finita. El operador de composición inducido por una función φ holomorfa en 𝔻 con φ(𝔻) ⊂ 𝔻 se define como

C_{φ}f = f ∘ φ,

para f analítica en 𝔻. Obviamente una condición necesaria para que C_{φ} sea acotado en el espacio de Dirichlet D es que C_{φ}z = φ pertenezca a D. No obstante, no todas las funciones φ ∈ D inducen operadores de composición acotados en D. Tales funciones fueron caracterizadas por Voas en su tesis. Otros autores, como MacCluer y Shapiro, o Zorboska han dado caracterizaciones alternativas. El hecho de que no toda aplicación φ ∈ D induzca un operador de composición acotado sugiere que el espacio de Dirichlet es un marco muy interesante donde estudiar los operadores de composición.

Una vez conocida la solución al problema de la acotación, el problema más importante es caracterizar los símbolos φ que inducen operadores de composición compactos. En esta charla analizaremos el comportamiento frontera de las aplicaciones φ que inducen operadores compactos en el espacio de Dirichlet. En particular, mostraremos que para los operadores de composición Hilbert-Schmidt en D, que son una clase importante de operadores compactos, la capacidad logarítmica del conjunto

E_{φ} = {e^{iθ} ∈ ∂𝔻 : |φ(e^{iθ})| = 1}

es cero. Además, probaremos que esto no es cierto para todos los operadores de composición compactos en el espacio de Dirichlet. Por último, analizaremos la situación en otros espacios de funciones analíticas.

Trabajo en colaboración con María J. González.