Series de Fourier lagunares

Luis Rodríguez Piazza Universidad de Sevilla

                                piazza@us.es

En 1927 Sidon publica el siguiente resultado: Si {λ_{k}}_{k} es una sucesión de Hadamard de números naturales (es decir; existe c > 1 tal que λ_{k+1}/λ_{k} ≥ c) y la serie de Fourier de una función f acotada en el toro T es de la forma

∑_{k} a_{k}e^{iλ_{k}t}, a_{k} ∈ C,

entonces ∑ |a_{k}| < +∞, y necesariamente f es una función continua. La restricción en el teorema anterior es que la serie de Fourier de la función f no tiene coeficientes (mejor dicho, son nulos) fuera de la sucesión de Hadamard. Este es un ejemplo del comportamiento diferente que tiene una serie de Fourier lagunar.

En nuestra charla repasaremos algunos resultados sobre distintos tipos de lagunaridad que vienen definida por propiedades funcionales. Nos centraremos principalmente en los conjuntos p-Sidon, y los de tipo Λ_{p}. Si X(T) es un espacio de funciones sobre el toro T, y Λ es un subconjunto de los enteros, denotamos por X_{Λ}(T) al subespacio formado por las f ∈ X(T) cuyos coeficientes de Fourier se anulan fuera de Λ; aparecen así, los espacios L_{Λ}^{p}(T), C_{Λ}(T), etc. Si p ∈ [1, 2), un subconjunto Λ ⊂ Z se dice que es p-Sidon si, para toda f ∈ C_{Λ}(T) se tiene

∑_{m} |f̂(m)|^{p} < +∞.

El teorema anterior se resume diciendo que una sucesión de Hadamard es un conjunto 1-Sidon. Si p ∈ (1, +∞), un subconjunto Λ ⊂ Z se dice que esde tipo Λ_{p} si se da L_{Λ}^{p}(T) = L_{Λ}^{1}(T).

El objetivo en el estudio de estos conjuntos es obtener relaciones entre los distintos tipos de lagunaridad, así como condiciones necesarias y suficientes de tipo aritmético. Tras ver algunos resultados y problemas abiertos sobre estos conjuntos, finalizaremos presentando una construcción de un ejemplo nuevo de conjunto lagunar que hemos realizado en colaboración con D. Li y H. Queffélec.