Tipo de Fourier óptimo respecto de grupos de Lie compactos semisimples

Javier Parcet Universidad Autónoma de Madrid

                            javier.parcet@uam.es

Sea G un grupo compacto no conmutativo y 1 ≤ p ≤ 2. Se dice que un espacio de operadores E (o espacio de Banach no conmutativo) tiene tipo de Fourier p respecto de G si se satisface la desigualdad de Hausdorff-Young de exponente p en G para funciones valoradas en E. El tipo de Fourier es una condición más restrictiva en el par (E, G) a medida que el exponente p se aproxima a 2. Esto da lugar a la noción de tipo de Fourier óptimo. En este trabajo investigamos el tipo (y cotipo) de Fourier óptimo de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten. Sea 1 ≤ q ≤ 2, el problema se reduce a comprobar que existe una constante positiva K(G, q) tal que para todo U abierto de G existe f : G → ℂ central soportada en U y tal que

∥f̂∥_{L^{q′} (Ĝ)} ≥ K(G, q) ∥f∥_{L^{q}(G)}

donde Ĝ denota el objeto dual de G. Es decir, se trata de probar una variante local de la desigualdad de Hausdorff-Young, para funciones con soporte arbitrariamente pequeño, en grupos compactos. Utilizando resultados clásicos de la teoría de representaciones de grupos, probamos este resultado para grupos de Lie compactos y semisimples entre los que se encuentran las cinco familias de grupos clásicos. Finalmente, definimos versiones no conmutativas del tipo de Rademacher, tipo de Gauss, etc... para un espacio de operadores. Estas nociones aparecen de manera natural en determinados problemas para los que las técnicas algebraicas mencionadas no sirven. Trabajo conjunto con: José García-Cuerva y José Manuel Marco.