Un principio de casi-ortogonalidad para funciones maximales direccionales

María Angeles Alfonseca Cubero Universidad Autónoma de Madrid

                          angeles.alfonseca@uam.es

Dado un conjunto Ω ⊂ [0, \frac{π}{4} ), consideremos Ω_{0} = \{θ_{1} > θ_{2} > … > θ_{j} > …\}, cualquier subconjunto ordenado de Ω. Descomponemos Ω en bloques disjuntos, Ω_{j}, j ≥ 1, separados por los elementos de Ω_{0}. Para cada j ≥ 0, definimos el operador maximal asociado a Ω_{j} como

M_{Ω_{j}}f(x) = sup_{x∈R∈B_{j}} \frac{1}{|R|} ∫_{R} |f(y)| dy,

donde B_{j} es el conjunto de todos los rectángulos que forman un ángulo θ ∈ Ω_{j} con el eje x.

Buscamos una acotación para la norma de M_{Ω}f(x, y) = sup_{j≥1} M_{Ω_{j}}f(x, y) como operador en L^{2}(ℝ^{2}), en función de las normas de los M_{Ω_{j}}. Usando un lema de cubrimiento, obtenemos un principio de casiortogonalidad en L^{2} para la familia {M_{Ω_{j}}}. Para extender este resultado a otros valores de p distintos de 2, necesitamos introducir una descomposición de Littlewood-Paley y la función cuadrado asociada. Como corolario, obtenemos una prueba muy sencilla de un reciente teorema de Katz. Asimismo, el principio de casi-ortogonalidad nos permite extender otros resultados sobre funciones maximales direccionales.

Trabajo en colaboración con Fernando Soria y Ana Vargas.